謊言者悖論

 西元前6世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）說了一句很有名的話：“所有克利特人都說謊。他們中間的一個詩人這么說。”
 這句話有名是因爲它沒有答案。因爲如果艾皮米尼地斯所言爲真，那么克利特人就全都是說謊者，身爲克利特人之一的艾皮米尼地斯自然也不例外，於是他所說的這句話應爲謊言，但這跟先前假設此言爲真相矛盾；又假設此言爲假，那么也就是說所有克利特人都不說謊，自己也是克利特人的愛皮米尼地斯就不是在說謊，就是說這句話是真的，但如果這句話是真的，又會產生矛盾。因此這句話是沒有解釋的。
謊言者悖論就是指一個人說：“這句話是假的。”因爲無論這句話是真是假都會導出矛盾。
古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
本文將根據悖論形成的原因，粗略地把它歸納爲六種類型，分上、中、下三個部份。這是第一部份：
由概念自指引發的悖論和引進無限帶來的悖論
(一)由自指引發的悖論
以下諸例都存在着一個概念自指或自相關的問題：如果從肯定命題入手，就會得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會得到它的肯定命題。  
1-1謊言者悖論
公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides)：“所有克利特人都說謊，他們中間的一個詩人這么說。”這就是這個著名悖論的來源。
《聖經》裏曾經提到：“有克利特人中的一個本地中先知說：‘克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶’”(《提多書》第一章)。可見這個悖論很出名，但是保羅對於它的邏輯解答並沒有興趣。
人們會問：艾皮米尼地斯有沒有說謊？這個悖論最簡單的形式是：“我在說1-2“我在說謊”
如果他在說謊，那么“我在說謊”就是一個謊，因此他說的是實話；但是如果這是實話，他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版：“這句話是錯的。”
1-3“這句話是錯的”
這類悖論的一個標準形式是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A，這是一個自相矛盾的無限邏輯循環。拓撲學中的單面體是一個形像的表達。
哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論，並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》裏說道：“自亞裏士多德以來，無論哪一個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什么。在1903年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。”
他說：謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾：“那個說謊的人說：‘不論我說什么都是假的’。事實上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。”(同上)
羅素試圖用命題分層的辦法來解決：“第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其余仿此，以至無窮。”但是這一方法並沒有取得成效。“1903年和1904年這一整個時期，我差不多完全是致力於這一件事，但是毫不成功。”(同上)
《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的，並且使用邏輯術語說明概念，回避自然語言的歧意。但是他在書的序言裏稱這是：“發表一本包含那么許多未曾解決的爭論的書。”可見，從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。
接下來他指出，在一切邏輯的悖論裏都有一種“反身的自指”，就是說，“它包含講那個總體的某種東西，而這種東西又是總體中的一份子。”這一觀點比較容易理解，如果這個悖論是克利特以爲的什么人說的，悖論就會自動消除。但是在集合論裏，問題並不這么簡單。

悖論是指一種導致矛盾的命題。悖論(paradox)來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。 如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。(zh.wikipedia.org/wiki/悖論)
把集合分成兩類，凡是不以自身作爲元素的集合稱爲正常集，（例如，自然數集N本身不是一個自然數，因此N是正常集。）凡是以自身作爲元素的集合稱爲異常集。（例如，所有的非生物的集合F並非生物，因此F是異常集。）
這樣，許多日常中常見的悖論(說謊者悖論，理發師悖論，上帝悖論等)都可以歸入異常集之中了。
另外一種悖論是關於無限的，雖然我們現在基本上都能接受極限的理論，但是要把這個理論向那些不懂的人解釋還是十分困難的。
比較經典的有：
(古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）的阿基裏斯悖論)阿基裏斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先於他的烏龜，因爲當他要到達烏龜出發的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基裏斯和烏龜的距離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。
(古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）的二分法悖論)當一個物體行進一段距離到達Ｄ，它必須首先到達距離Ｄ的二分之一，然後是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此，這個物體永遠也到達不了Ｄ。

“１釐米线段內的點與太平洋面上的點一樣多”
康托爾（１８４５－１９１８）成功地證明了：一條直线上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。由於無限，１釐米長的线段內的點，與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都“一樣多”。 ^[1]