线性插值法

　　线性插值是數學、計算機圖形學等領域廣泛使用的一種簡單插值方法。

　　假設我們已知坐標(x₀,y₀)與(x₁,y₁),要得到[x₀,x₁]區間內某一位置x在直线上的值。根據圖中所示，我們得到

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　　假設方程兩邊的值爲α，那么這個值就是插值系數—從x₀到x的距離與從x₀到x₁距離的比值。由於x值已知，所以可以從公式得到α的值

　　同樣，

　　這樣，在代數上就可以表示成爲：

　　y = (1 − α)y₀ + αy₁

　　或者，

　　y = y₀ + α(y₁ − y₀)

　　這樣通過α就可以直接得到 y。實際上，即使x不在x₀到x₁之間並且α也不是介於0到1之間，這個公式也是成立的。在這種情況下，這種方法叫作线性外插—參見 外插值。

　　已知y求x的過程與以上過程相同，只是x與y要進行交換。

　　线性插值經常用於已知函數f在兩點的值要近似獲得其它點數值的方法，這種近似方法的誤线定義爲

　　R_T = f(x) − ρ(x)

　　其中ρ表示上面定義的线性插值多項式

　　根據羅爾定理，我們可以證明：如果f有兩個連續導數，那么誤差範圍是

　　|\le\frac{(x_1-x_0)^2}{8}\max_{x_0 \leq x \leq x_1} \left|f^\prime(x)\right|" src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/6/0/d60cd80df578a24f9c290cfa6ae87ce5.png">

　　正如所看到的，函數上兩點之間的近似隨着所近似的函數的二階導數的增大而逐漸變差。從直觀上來看也是這樣：函數的曲率越大，簡單线性插值近似的誤差也越大。