分形理論
自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表徵分形在通常的幾何變換下具有不變性,即標度無關性。由自相似性是從不同尺度的對稱出發,也就意味着遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同,也可以是統計意義上的相似。標準的自相似分形是數學上的抽象,迭代生成無限精細的結構,如科契(Koch)雪花曲线、謝爾賓斯基(Sierpinski)地毯曲线等。這種有規分形只是少數,絕大部分分形是統計意義上的無規分形。
分維,作爲分形的定量表徵和基本參數,是分形理論的又一重要原則。分維,又稱分形維或分數維,通常用分數或帶小數點的數表示。長期以來人們習慣於將點定義爲零維,直线爲一維,平面爲二維,空間爲三維,愛因斯坦在相對論中引入時間維,就形成四維時空。對某一問題給予多方面的考慮,可建立高維空間,但都是整數維。在數學上,把歐氏空間的幾何對象連續地拉伸、壓縮、扭曲,維數也不變,這就是拓撲維數。然而,這種傳統的維數觀受到了挑战。曼德布羅特曾描述過一個繩球的維數:從很遠的距離觀察這個繩球,可看作一點(零維);從較近的距離觀察,它充滿了一個球形空間(三維);再近一些,就看到了繩子(一維);再向微觀深入,繩子又變成了三維的柱,三維的柱又可分解成一維的纖維。那么,介於這些觀察點之間的中間狀態又如何呢?
顯然,並沒有繩球從三維對象變成一維對象的確切界限。數學家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了連續空間的概念,也就是空間維數是可以連續變化的,它可以是整數也可以是分數,稱爲豪斯道夫維數。記作Df,一般的表達式爲:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取對數並整理得Df=lnK/lnL,其中L爲某客體沿其每個獨立方向皆擴大的倍數,K爲得到的新客體是原客體的倍數。顯然,Df在一般情況下是一個分數。因此,曼德布羅特也把分形定義爲豪斯道夫維數大於或等於拓撲維數的集合。英國的海岸线爲什么測不準?因爲歐氏一維測度與海岸线的維數不一致。根據曼德布羅特的計算,英國海岸线的維數爲1.26。有了分維,海岸线的長度就確定了。
分形理論既是非线性科學的前沿和重要分支,又是一門新興的橫斷學科。作爲一種方法論和認識論,其啓示是多方面的:一是分形整體與局部形態的相似,啓發人們通過認識部分來認識整體,從有限中認識無限;二是分形揭示了介於整體與部分、有序與無序、復雜與簡單之間的新形態、新秩序;三是分形從一特定層面揭示了世界普遍聯系和統一的圖景。
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