調和平均數

調和平均數概述
　　調和平均數又稱倒數平均數，是變量倒數的算術平均數的倒數。
調和平均數的計算公式
　　調和平均數是給定數據的倒數之算術平均數的倒數。
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/c/3/1c389e64f7074fb4aec9c38aa405a10a.png" alt="H=\frac{1}{\frac{\sum \frac{1}{x}}{n}}=\frac{n}{\sum\frac{1}{x}}">　　（簡單平均式）
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/4/6/c460306476e32d83be09bcf27b577973.png" alt="H=\frac{1}{\frac{\sum \frac{1}{x}f}{\sum f}}=\frac{\sum f}{\sum\frac{1}{x}f}">　　（加權平均式）
調和平均數的特點
　　1、調和平均數易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大。
　　2、只要有一個變量值爲零，就不能計算調和平均數。
　　3、當組距數列有开口組時，其組中值即使按相鄰組距計算了，假定性也很大，這時，調和平均數的代表性就很不可靠。
　　4、調和平均數應用的範圍較小。
調和平均數與算術平均數的比較
　　（一）調和平均數與算術平均數的區別
變量不同：算術平均數是x，調和平均數是 1/x 。
權數不同：算術平均數是f或n，代表次數（單位數），調和平均數是xf或M，代表標志總量。
　　（二）調和平均數與算術平均數的聯系：調和平均數作爲算術平均數的變形使用：
　　∵tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/8/b/18bd1280fd67488d4e63f0e439b47f8a.png" alt="\sum f=\sum \frac{xf}{x}">
　　∴tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/a/7/2a7074093d7b017f100b42c5cb7b5fbd.png" alt="\bar{x}=\frac{\sum xf}{\sum f}=\frac{\sum xf}{\sum\frac{xf}{x}}=\frac{\sum xf}{\sum\frac{1}{x}xf}">
　　令　M=xf
　　則　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/f/9/1f94eb2aa6bfd47a9554b9bbec0bbe50.png" alt="\bar{x}=\frac{\sum M}{\sum\frac{1}{x}M}=H">
應用調和平均數應注意問題
　　1、變量x的值不能爲0。
　　2、調和平均數易受極端值的影響。
　　3、要注意其運用的條件。調和平均數多用於已知分子資料，缺分母資料時。
調和平均數與算術平均數的舉例分析
　　例一 水果甲級每元1公斤，乙級每元1.5公斤，丙級每元2公斤。問：
　　（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？
　　（2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？
　　（3）甲級3公斤，乙級2公斤，丙級1公斤，平均每元可买幾公斤？
　　（4）甲乙丙三級各买1元，每元可买幾公斤？
　　解：例一
　　(1)tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/6/8/d68871cb07d9f055629471a36e7e70ba.png" alt="H=\frac{n}{\sum\frac{1}{n}}=\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1.5}+\frac{1}{2}}=\frac{3}{2.1667}=1.38">(公斤／元)
　　(2)tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/7/7/b77b6bf3f317419dc205c734f69f618e.png" alt="H=\frac{\sum f}{\sum\frac{1}{x}f}=\frac{6.5+6.5+6.5}{\frac{1}{1}\times6.5+\frac{1}{1.5}\times6.5+\frac{1}{2}\times6.5}=\frac{19.5}{14.0833}=1.38">(公斤／元)
　　(3)tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/0/f/d0f3212060ac719dd5e44047245bce2a.png" alt="H=\frac{\sum f}{\sum\frac{1}{x}f}=\frac{3+2+1}{\frac{1}{1}\times3+\frac{1}{1.5}\times2+\frac{1}{2}\times1}=\frac{6}{4.83}=1.24">(公斤／元)
　　(4)tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/1/6/a1680b6a4fb4adf5966cab599695b7d0.png" alt="\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{1+1.5+2}{3}=1.5">(公斤／元)