效用曲线

什么是效用曲线
　　效用曲线是用於反映決策者對風險態度的一種曲线。又稱"偏好曲线"。在決策中，決策者的個性、才智、膽識、經驗等主觀因素，使不同的決策者對相同的益損問題 (獲取收益或避免損失)作出不同的反應；即使是同一決策者，由於時間和條件等客觀因素不同，對相同的益損問題也會有不同的反應。決策者這種對於益損問題的獨特感受和取舍，稱之爲“效用”。效用曲线就是用來反映決策後果的益損值對決策者的效用(即益損值與效用值)之間的關系曲线。通常以益損值爲橫坐標，以效用值爲縱坐標，把決策者對風險態度的變化在此坐標系中描點而擬合成一條曲线。
效用曲线的種類
　　常見的效用曲线分爲保守型、激進型、中間型和混合型四種， 見圖l。
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/5/55/%E6%95%88%E5%BA%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF.jpg" alt="Image:效應曲线.jpg" width="771" height="376" longdesc="/wiki/Image:%E6%95%88%E5%BA%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF.jpg">
　　圖1 效用曲线
　　1．保守型效用曲线
　　圖l中的曲线Ⅱ 嚴格上凸(下凹)表示效用隨着消費者收入的增多而遞增，但遞增速度越來越慢， 即邊際效用遞減，這樣的決策者對於虧損特別敏感，而大的收益對他的吸引力卻不是很大，這種類型的決策者容易滿足， 不求大利， 只求避風險。保守型決策者厭惡風險。
　　2．激進型效用曲线
　　圖l中的曲线Ⅲ是下凸(上凹)的，表示效用隨着消費者收入的增多而遞增， 而遞增速度越來越快， 即邊際效用遞增。曲线中間部分呈下凹形狀， 表示決策者專注於想獲得大的收益而不十分關心虧損，這種類型的決策者不易滿足。激進型決策者喜歡風險。
　　3．中問型效用曲线
　　圖l中的直线I表示決策的效用與決策損益的貨幣效果成线性關系， 對應於這種效用函數的決策者對決策風險抱中立態度，他或是認爲決策的後果對大局無嚴重影響，或者因爲該項決策可以重復進行， 從而獲得平均意義上的成果， 因而對決策的某項後果不予特別關注，而謹慎從事，由於這類效用函數是线性美系，因此，效用期望值最大的方案也已是收益期望值的最大方案。此時一個非確定性決策的確定等價值就等於它的期望收益。
　　4．混合型效用曲线
　　圖1中的曲线Ⅳ 表示決策者在收 損益額不太大時，決策者具有一定的冒險膽略，追求風險屬於激進型，但當損益額增大到一定數量時，他就轉化爲厭惡風險的決策者了，變爲保守型， 其實這種類型更符合實際。
　　一般在一定的損益水平條件下，決策者認爲效用越大，越傾向於保守型；反之決策者認爲效用越小， 越傾向於風險型。
　　根據效用曲线的幾何特徵可選用以下幾種統計學中常用的曲线來擬合效用曲线。圖1中的曲线Ⅱ 和Ⅲ 的擬合有多種形式．可以用Y = XO， 也可用半對數LnY=a+bX形式，以下採用指數函數形式。
效用曲线模型數學推導
　　1．直线——Y=A+BX
　　利用兩端點M(X1，1)和N(X0,0)確定直线I;tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/4/0/f40f353a80fa0bc7eee1e182488655df.png" alt="Y=\frac{X-X_0}{X_1-X_0}">其中，y爲效用參數，X爲損益值(下同)。
　　2．指數曲线—— tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/7/9/d/79d7b0d4ba399b3c278f0ca659b52b7f.png" alt="Y=A+B_e^{cx}">
　　(1)曲线類型判斷。首先， 從系數上判斷，從圖1可以看出曲线II和曲线III同爲單調遞增函數，且曲线Ⅱ上凸， 曲线Ⅲ 下凹。
　　其次，利用期望效用直线判斷。當Ym > (Xm − X0) / (x1 − X0) 是，爲保守型；
　　當Ym < (Xm − X0) / (X1 − X0)時，爲激進型。
　　(2)模型求解。利用兩端點M(X1，1)和N(XO，0)，決策損益效用點Q(Xm，Ym)滿足
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/5/4/e544fe6a39a9a1dae1b98922d8eddbf4.png" alt="\begin{cases} A+B_e^{cx_1}=1 \\A+B_e^{cx_0}=0 \\ A+B_e^{cx_m}=Y_m \end{cases}">　　(1)
　　解得：
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/4/8/04803fe6ccdb2632373d09783dd4844e.png" alt="A=-e^{cx_0}/(e^{cx_1}-e^{cx_0})">　　(2)
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/5/5/855c9cebd9936e495f4220579693e539.png" alt="B=1/(e^{cx_1}-e^{cx_0})">　　　(3)
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/b/9/db94ef8ca25a8a8f16a15927fea6bfa8.png" alt="e^{c(x_m-x_0)}=Y_{m}e^{c(x_1-x_0)}+(1+Y_m)">　　　(4)
　　當曲线是保守型時， 設tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/f/3/af3055628dd82e25277c87284ab58f14.png" alt="t=e^{c(x_m-x_n)},a=(X_1-X_0)/(X_m-X_0)>1,a=Y_m,b=1-Y_m">則(4)式可改寫成
　　t = ata + b(0 < t < 1)
　　當曲线是激進型時， 設tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/c/3/cc3a31cdb23473742c280f6f5cafe11f.png" alt="t=e^{c(x_m-x_1)},a=(X_1-X_0)/(X_1-X_m)>1,a=1-Y_m,b=Y_m">則(4)式也可改寫成(5)式。
　　保守型： 由tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/7/f/c7faf202d5eb82f9dc128ac8ce0cf8b6.png" alt="t=e^{c(x_m-x_0)}">得C = lnt / (Xm − X0)
　　激進型： 由tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/f/0/6f074b9b9b142d7b860d77261c402d26.png" alt="t=e^{c(x_m-x_1)}">
　　得C = Int / (Xm − X1),將C代人(2)式、(3)式，進而求出參數A，B。
　　3．混合型效用曲线
　　設效用函數是：
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/5/b/65bac438e83037ffedb2997466a8e93e.png" alt="Y=f(x)=a(X-X_0)(X-X_1)(X-b)+\frac{(X-X_0)}{(X_1-X_0)}">
　　由Ym = f(Xm),Ym = f(Xn)解得：
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/9/b/c9bf560457e069d9f2d14c9f117c2d69.png" alt="a=\frac{(A_m-A_n)}{X_m-X_n}">,tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/d/e/6de5f74817c9b2ff3cc68cc48098321f.png" alt="b=\frac{X_nA_m-X_mA_n}{A_m-A_n}">
　　其中：tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/8/8/e88ac5e181523391ccb966f40ed11a8c.png" alt="A_m=\frac{Y_m-frac{(X_m-X_0)}{X_1-X_0}}{X_m-X_0}(X_m-X_1),A_n=\frac{Y_n-frac{(X_n-X_0)}{X_1-X_0}}{X_n-X_0}(X_n-X_1)">
效用曲线實際運用舉例
　　某決策者面臨三種建廠方案，決策矩陣如表1所示(單位： 萬元)。
　　表l

　　解： (1)極大損益效用點爲M(700、1)'極小損益效用點爲Ⅳ(一500~0)．決策有損益效用點爲；2(3O0,0．4)。
　　(2)判斷決策類型。tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/5/4/8/548f6c87e83fae5c154c1c6f3dee1ca7.png" alt="Y_m=O.4< \frac{300- (-500)}{700- (-5OO)}= 0.6667"> ， 激進型。
　　(3)模型求導解得： a=0．6，b=0．4，α=3，C=0．001955，A= -0．10588，B= 0．28l4， 即Y= -0．10588+ 0.2814e0.001955x。
　　(4)決策。將各行動方案不同狀態下損益值分別代人上式求出效用值， 然後計算出各行動方案的期望效用。
　　建大廠，U，== 0．7；建中廠，U =0．4646；建小廠，U =0．3177。
　　根據期望值極大原理， 應選擇建大廠方案， 如果決策者選擇損益效用點爲Q(一200．0．49)可判斷爲保守型， 利用上述方法，則應選擇建小廠方案。
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