中心極限定理

什么是中心極限定理
　　大數定律揭示了大量隨機變量的平均結果，但沒有涉及到隨機變量的分布的問題。而中心極限定理說明的是在一定條件下，大量獨立隨機變量的平均數是以正態分布爲極限的。
　　中心極限定理是概率論中最著名的結果之一。它提出，大量的獨立隨機變量之和具有近似於正態的分布。因此，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助於解釋爲什么有很多自然羣體的經驗頻率呈現出钟形(即正態)曲线這一事實，因此中心極限定理這個結論使正態分布在數理統計中具有很重要的地位，也使正態分布有了廣泛的應用。
中心極限定理的表現形式
　　中心極限定理也有若幹個表現形式，這裏僅介紹其中四個常用定理：
　　（一）辛欽中心極限定理
　　設隨機變量tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/3/8/f38693c97712b087dd6232107aabc912.png" alt="x_1,x_2\cdots,x_n">相互獨立，服從同一分布且有有限的數學期望a和方差σ2，則隨機變量tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/5/c/35c98a1c45ddb1cc56b66236d3abd509.png" alt="\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}">，在n無限增大時，服從參數爲a和tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/7/5/8/758969c18beb0777a9b5ad46f7040eb2.png" alt="\frac{\sigma^2}{n}">的正態分布即n→∞時，
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/9/2/4923a2ca9bd0bf99cba82446c91d265e.png" alt="\bar{x}~N(a,\frac{\sigma^2}{n})">
　　將該定理應用到抽樣調查，就有這樣一個結論：如果抽樣總體的數學期望a和方差σ2是有限的，無論總體服從什么分布，從中抽取容量爲n的樣本時，只要n足夠大，其樣本平均數的分布就趨於數學期望爲a，方差爲σ2 / n的正態分布。
　　（二）德莫佛——拉普拉斯中心極限定理
　　設μn是n次獨立試驗中事件A發生的次數，事件A在每次試驗中發生的概率爲P，則當n無限大時，頻率設μn / n趨於服從參數爲tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/7/d/f/7df5c6a71deac9b59b8c70a0f968aca4.png" alt="p,\frac{p(1-p)}{n}">的正態分布。即：
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/b/c/ebcc767e205a5a10ad80f993e99b210d.png" alt="\frac{\mu_n}{n}~N(p,\frac{p(1-p)}{n})">
　　該定理是辛欽中心極限定理的特例。在抽樣調查中，不論總體服從什么分布，只要n充分大，那么頻率就近似服從正態分布。
　　（三）李亞普洛夫中心極限定理
　　設tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/4/2/d4292b9b06cd038dd8b2e696675bff5f.png" alt="x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots">是一個相互獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數學期望和方差：tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/d/1/ad18e14aa03558447d2a2a6b4d4c85f9.png" alt="\alpha_k=E(X_k),b_k^2=D(X_k)(k=1,2,\Lambda,n\Lambda)"> 。
　　記tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/d/9/ed9b954543f0347a5fb482b20ffa31c0.png" alt="B_n^2=\sum_{k=1}^n b_k^2">，如果能選擇這一個正數δ>0，使當n→∞時，tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/6/0/36004382464dabc2e0087da8cdc9e11d.png" alt="\frac{1}{B_n2+\delta}\sum_{k=1}^nE|x_k-a_k|^{2+\delta}">，則對任意的x有：
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/b/e/ebe335dec413ef384f21d22ba107e02e.png" alt="P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)<x\end{Bmatrix}\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt">
　　該定理的含義是：如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素影響所造成的，而每一個別因素在總影響中所起的作用不很大，則這個量服從或近似服從正態分布。
　　（四）林德貝爾格定理
　　設tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/4/2/d4292b9b06cd038dd8b2e696675bff5f.png" alt="x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots">是一個相對獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數學期望和方差 滿足林德貝爾格條件，則當n→∞時，對任意的x，有tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/b/e/ebe335dec413ef384f21d22ba107e02e.png" alt="P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)<x\end{Bmatrix}\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt">。
中心極限定理案例分析 ">編輯] 案例一：中心極限定理在商業管理中的應用
　　水房擁擠問題：假設西安郵電學院新校區有學生5000人，只有一個开水房，由於每天傍晚打开水的人較多，經常出現同學排長隊的現象，爲此校學生會特向後勤集團提議增設水龍頭。假設後勤集團經過調查，發現每個學生在傍晚一般有1％的時間要佔用一個水龍頭，現有水龍頭45個，現在總務處遇到的問題是：
　　（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？
　　（2）至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？
　　解：（1）設同一時刻，5000個學生中佔用水龍頭的人數爲X，則
　　X～B（5000，0.01）
　　擁擠的概率是
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/5/9/f59134d4a18ba08ecc41f938b20c131c.png" alt="P(\zeta>45)=1-P(0\le\zeta\le45)=1-\sum_{k=0}^{45}C_{5000}^k\times0.01^k\times0.99^{5000-k}">
　　有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985，tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/f/a/ffae46d6b34b68669040a22327320d99.png" alt="np-50,\sqrt{npq}">
　　故
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/3/b/33b484e31b13690f961fecccc03100ae.png" alt="P(0\le\zeta\le45)=\Phi(\frac{45-50}{7.04})-\Phi(\frac{0-50}{7.04})=\Phi(-7.1)-Phi(-7.1)=0.2389">
　　即擁擠的概率
　　P(ζ > 45) = 1 − 0.2389 = 0.7611
　　（2）欲求m，使得tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/a/c/bac6bc9b1cb14ded1fdd1ae3d1753a31.png" alt="P(0\le\zeta\le45)\ge0.95">
　　即tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/7/7/177bcb303add064a28eb2645a1b977de.png" alt="\Phi(\frac{m-50}{7.04})-\Phi(\frac{0-50}{7.04})\ge0.95">
　　由於tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/a/d/9ad1915ac52d984ec1ce76052e8ea368.png" alt="\Phi(\frac{m-50}{7.04})=\Phi(-7.09)\approx0">
　　即tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/1/1/c11ca8dd435c417053d5c59f9db511ae.png" alt="\Phi(\frac{m-50}{7.04})\ge0.95">
　　查表tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/e/9/ae9a011219a60a46c23ac863c1af727c.png" alt="\frac{m-50}{7.04}\ge1.645">
　　即tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/9/5/a95a2a7140e766d6df831e7e5c2ce813.png" alt="m\ge61.6">
　　需裝62個水龍頭。
　　問題的變形：
　　（3）至少安裝多少個水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？
　　解：欲求m，使得
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/4/c/04c1a643d3b0803ac4f130a340ac0ed4.png" alt="P(0\le\zeta\le45)\ge0.99">
　　即tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/e/c/9ec0fc6b5597739914abcfc78b49fb77.png" alt="\Phi(\frac{m-50}{7.04})-\Phi(\frac{0-50}{7.04})\ge0.99">
　　由tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/7/2/f/72ffbbd1bf2014ddabc690748cd0131b.png" alt="\Phi(\frac{0-50}{7.04})=\Phi(-7.09)\approx0">
　　即tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/e/a/1eafcae3a48af8ad521e3036da69e67d.png" alt="\Phi(\frac{m-50}{7.04})\ge0.99">
　　查表tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/d/b/9dba4f2f6e2ede8a14169b2d598ecf64.png" alt="\frac{m-50}{7.04}\ge2.325">
　　即m≥66.4
　　故需要裝67個水龍頭。
　　（4）若條件中已有水龍頭數量改爲55個，其余的條件不變,1,2兩問題結果如何？
　　解：（1）
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/3/0/e30db236a2ffdcc7d323e18a3a7490f2.png" alt="P(\zeta\ge55)=1-\Phi(\frac{55-50}{7.04})=1-\Phi(0.71)=0.2389">
　　（2）同上。
　　（5）若條件中的每個學生佔用由1%提高到1.5%，其余的條件不變，則（1），
　　（2）兩問題結果如何?
　　解：(1)設同一時刻，5000個學生中佔用水龍頭的人數爲X，則
　　X-B(5000，0.015)
　　已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75，tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/3/4/d34bcc34cb9b6a748858fd539f039edf.png" alt="\sqrt{npq}=8.60">
　　擁擠的概率達
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/5/c/a/5cab203f2340348322264631dbf1bd94.png" alt="P(\zeta>45)=1-\Phi(\frac{45-75}{8.60})=1-\Phi(-3.49)\approx1">
　　(2)欲求m，使得
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/a/c/bac6bc9b1cb14ded1fdd1ae3d1753a31.png" alt="P(0\le\zeta\le45)\ge0.95">
　　即tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/6/f/46f5bf784e86212db0906ae16b1bf826.png" alt="\Phi(\frac{m-75}{8.60})-\Phi(\frac{0-75}{8.60})\ge0.95">
　　由tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/6/9/2694096503d4801a7b051eaf1e606117.png" alt="\Phi(\frac{m-75}{8.60})\approx0">
　　即tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/0/0/b00ed5d60a25581b24a1cda146e39452.png" alt="\Phi(\frac{m-75}{8.60})\ge0.95">
　　查表tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/3/e/43e058d84d391839d50cc32b3491c64a.png" alt="\frac{m-75}{8.60}\ge1.645">
　　即m≥89.14
　　故需裝90個水龍頭。
　　中心極限定理以嚴格的數學形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本的均值總是近似地服從正態分布。如果一個隨機變量能夠分解爲獨立同分布的隨機變量序列之和，則可以直接利用中心極限定理進行解決。總之，恰當地使用中心極限定理解決實際問題有着極其重要意義。
參考文獻

1. ↑ 孔祥鳳.中心極限定理在管理中的應用.現代商業,2009,(4).