統計量

簡介
　　樣本的已知函數；其作用是把樣本中有關總體的信息匯集起來；是數理統計學中一個重要的基本概念。統計量依賴且只依賴於樣本x1,x2,…xn;它不含總體分布的任何未知

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參數。從樣本推斷總體（見統計推斷）通常是通過統計量進行的。例如x1,x2,…,xn是從正態總體N(μ ,1)（見正態分布）中抽出的簡單隨機樣本,其中均值（見數學期望）μ是未知的，爲了對μ作出推斷，計算樣本均值。可以證明，在一定意義下，塣包含樣本中有關μ的全部信息,因而能對μ作出良好的推斷。這裏塣只依賴於樣本x1,x2,…,xn,是一個統計量。常用統計量

樣本矩

　　設x1,x2,…,xn是一個大小爲n的樣本,對自然數 k，分別稱 爲k階樣本原

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點矩和k階樣本中心矩, 統稱爲樣本矩。許多最常用的統計量，都可由樣本矩構造。例如，樣本均值（即α1）和樣本方差 是常用的兩個統計量,前者反映總體中心位置的信息，後者反映總體分散情況。還有其他常用的統計量，如樣本標準差，樣本變異系數S/塣,樣本偏度,樣本峯度等都是樣本矩的函數。若(x1,Y1),(x2,Y2),…，(xn,Yn)是從二維總體(x，Y)抽出的簡單樣本,則樣本協方差·及樣本相關系數 也是常用的統計量，r可用於推斷x和Y的相關性。

次序統計量

　　把樣本X1,x2，…，xn由小到大排列，得到，稱之爲樣本x1,x2,…

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,xn的次序統計量。其中最小次序統計量 x(1)最大次序統計量x(n)稱爲極值,在那些如年枯水量、年最大地震級數、材料的斷裂強度等的統計問題中很有用。還有一些由次序統計量派生出來的有用的統計量，如：樣本中位數 是總體分布中心位置的一種度量，若樣本大小 n爲奇數，，若n爲偶數,，它容易計算且有良好的穩健性。樣本p分位數Zp(0<p<1)及極差x(n)-x(1)也是重要的統計量。其中Zp當時即爲中位數，而當時，表示不超過1+np的最大整數）。樣本分位數的一個重要應用是構造連續總體分布的非參數性容忍區間（見區間估計）。

U統計量

　　這是W.霍夫丁於1948年引進的,它在非參數統計中有廣泛的應用。其定義是:設x1,x2,…,xn,爲簡單樣本，m爲不超過n的自然數,爲m元對稱函數,則稱 爲樣本x1,x2,…,xn的以爲核的U統計量。樣本均值和樣本方差都是它的特例

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。從霍夫丁开始，這種統計量的大樣本性質得到了深入的研究，主要應用於構造非參數性的量的一致最小方差無偏估計（見點估計），並在這種估計的基礎上檢驗非參數性總體中的有關假設。

秩統計量

　　把樣本X1，X2，…，Xn 按大小排列爲，若 則稱Ri爲xi的秩，全部n個秩R1，R2，…,Rn構成秩統計量，它的取值總是1,2，…，n的某個排列。秩統計量是非參數統計的一個主要工具

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。
　　還有一些統計量是因其與一定的統計方法的聯系而引進的。如假設檢驗中的似然比原則所導致的似然比統計量，K.皮爾森的擬合優度（見假設檢驗）準則所導致的ⅹ統計量，线性統計模型中的最小二乘法所導致的一系列线性與二次型統計量，等等。充分性與完全性
　　統計量是由樣本加工而成的, 在用統計量代替樣本作統計推斷時，樣本中所

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含的信息可能有所損失,如果在將樣本加工爲統計量時,信息毫無損失，則稱此統計量爲充分統計量。例如，從一大批產品中依次抽出n個,若第i次抽出的是合格品,則xi=0,否則xi=1(i=1,2,…,n)。總體分布取決於整批產品的廢品率p,可以證明:統計量，即樣本中的廢品個數,包含了(x1，x2，…，xn)中有關p的全部信息，是一個充分統計量。若取m<n，令Tm(x1，,則Tm仍是一個統計量，不過不是充分的。　
　　充分性是數理統計的一個重要基本概念，它是R.A.費希爾在1925年引進的，費希爾提出，並由J.奈曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴格證明了一個判定統計量充分性的方法，叫因

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子分解定理。這個定理適用面廣且應用方便,利用它可以驗證很多常見統計量的充分性。例如,若正態總體有已知方差,則樣本均值塣是充分統計量。若正態總體的均值、方差都未知，則樣本均值和樣本方差S合起來構成充分統計量(塣,S)。一個統計量是否充分,與總體分布有密切關系。
　　將樣本加工成統計量要求越簡單越好。簡單的程度的大小，主要用統

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計量的維數來衡量。簡單地講，若統計量T2是由統計量T1加工而來(即T2是T1的函數)，則T2比T1簡單。在此意義上，最簡單的充分統計量叫極小充分統計量。這是E.L.萊曼和H.謝菲於1950年提出的。前例中的充分統計量都有極小性。在任何情況下，樣本x1,x2,…,xn本身就是一個充分統計量,但一般不是極小的。
　　關於統計量的另一個重要的基本概念是完全性。設T爲一統計量,θ爲總體分布參數,若對θ的任意函數g(θ),基於T的無偏估計至多只有一個（以概率1相等的兩個估計量視爲相同），則稱T爲完全的。抽樣分布
　　統計量的分布叫抽樣分布。它與樣本分布不同，後者是指樣本x1,x2,…,xn的聯合分布。
　　統計量的性質以及使用某一統計量作推斷的優良性，取決於其分布。

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所以抽樣分布的研究是數理統計中的重要課題。尋找統計量的精確的抽樣分布，屬於所謂的小樣本理論（見大樣本統計）的範圍，但是只在總體分布爲正態時取得比較系統的結果。對一維正態總體，有三個重要的抽樣分布，即ⅹ分布、t分布和F分布。
　　ⅹ分布 設隨機變量x1,x2,…,xn是相互獨立且服從標準正態分布N(0,

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1),則隨機變量的分布稱爲自由度爲n的ⅹ分布(其密度函數及下文的t分布、F分布的密度函數表達式均見概率分布)。這個分布是 F.赫爾梅特於1875年在研究正態總體的樣本方差時得到的。若x1,x2,…,xn是抽自正態總體N(μ,σ)的簡單樣本,則變量服從自由度爲n-1的ⅹ分布。若x1，x2,…,xn服從的不是標準正態分布，而依次是正態分布N(μi,1)(i=1,2,…,n),則的分布稱爲非中心ⅹ分布，稱爲非中心參數。 當δ＝0時即前面所定義的ⅹ分布。爲此,有時也稱它爲中心ⅹ分布。中心與非中心的ⅹ分布在正態线性模型誤差方差的估計理論中,在正態總

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體方差的檢驗問題中(見假設檢驗),以及一般地在正態變量的二次型理論中都有重要的應用。
　　t分布 設隨機變量ξ，η獨立,且分別服從正態分布N(δ,1)及自由度n的中心ⅹ分布，則變量的分布稱爲自由度n、非中心參數δ的非中心t分布；當δ＝0時稱爲中心t分布。若x1，x2，…，xn是從正態總體N（μ ,σ）中抽出的簡單樣本，以塣記樣本均值，以記樣本方差,則服從自由度n-1的t分布。這個結果是英國統計學家W.S.戈塞特(又譯哥色特，筆名“學生”)於 1908年提出的。t分布在有關

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正態總體均值的估計和檢驗問題中，在正態线性統計模型對可估函數的推斷問題中有重要意義,t分布的出現开始了數理統計的小樣本理論的發展。
　　F分布 是 R.A.費希爾在20世紀20年代提出的。設隨機變量ξ，η獨立，ξ服從自由度m、非中心參數δ的非中心ⅹ分布,η服從自由度n的中心ⅹ分布,則的分布稱爲自由度(m,n)、非中心參數δ的非中心F分布，當δ=0時稱爲中心F 分布。若x1,x2,…,xm和Y1,Y2,…,Yn分別是從正態總體N(μ

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,σ)和N(v，σ),中抽出的獨立簡單樣本,以S娝和S娤分別記爲諸xi和諸Yi的樣本方差，則方差比統計量S娝/S娤服從自由度(m-1,n-1)的中心F分布。中心和非中心的 F分布在方差分析理論中有重要應用。
　　多維正態總體的重要的抽樣分布有維夏特分布和霍特林的T分布（見多元統計分析）。
　　一個統計量若服從某分布，常以該分布的名字命名該統計量，如ⅹ統計量、F統計量、T統計量等。
　　由於尋找精確的抽樣分布有困難，統計學者轉而研究當樣本大小 n→∞時統計量的漸

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近分布(即極限分布)，這種研究是數理統計大樣本理論的基礎性工作。已經有很多重要的統計方法，就是基於這種工作而提出的。像K.皮爾森關於擬合優度統計量的極限分布是分布的著名結果(1900)就是一個有代表性的例子。
　　參考書目 復旦大學編：《概率論》（第2冊，數理統計）,人民教育出版

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社，北京，1979。 費史著,王福保譯：《概率論及數理統計》,上海科學技術出版社,上海,1962。(M.Fisz,Wahrscheinlichkei-tsrechnung und MatheMatische Statistik，VEB Deu-tscher Verlag der Wissenschaften,Berlin, 1958.) 陳希孺著:《數理統計引論》,科學出版社,北京,1981。