最小二乘法公式

簡介
　　最小二乘法公式
　　∑(X--X平)(Y--Y平)
　　=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)
　　=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平
　　=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平
　　=∑XY--nX平Y平
　　∑(X --X平)^2
　　=∑(X^2--2XX平+X平^2)
　　=∑X^2--2nX平^2+nX平^2
　　=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（針對y=ax+b形式）
　　a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)
　　b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法
　　在我們研究兩個變量(x, y)之間的相互關系時，通常可以得到一系列成對的數據(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；將這些數據描繪在x -y直角坐標系中(如圖1), 若發現這些點在一條直线附近，可以令這條直线方程如(式1-1)。
　　Y計= a0 + a1 X (式1-1)
　　其中：a0、a1 是任意實數
　　爲建立這直线方程就要確定a0和a1，應用《最小二乘法原理》，將實測值Yi與利用(式1-1)計算值(Y計=a0+a1X)的離差(Yi-Y計)的平方和〔∑(Yi - Y計)²〕最小爲“優化判據”。
　　令: φ = ∑(Yi - Y計)² (式1-2)
　　把(式1-1)代入(式1-2)中得:
　　φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
　　當∑(Yi-Y計)²最小時，可用函數 φ 對a0、a1求偏導數，令這兩個偏導數等於零。
　　(式1-4)
　　(式1-5)亦即
　　m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
　　(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)
　　得到的兩個關於a0、 a1爲未知數的兩個方程組，解這兩個方程組得出：
　　a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
　　a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
　　這時把a0、a1代入(式1-1)中, 此時的(式1-1)就是我們回歸的元线性方程即：數學模型。
　　在回歸過程中，回歸的關聯式是不可能全部通過每個回歸數據點(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),爲了判斷關聯式的好壞,可借助相關系數“R”，統計量“F”，剩余標準偏差“S”進行判斷；“R”越趨近於 1 越好；“F”的絕對值越大越好；“S”越趨近於 0 越好。
　　R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊
　　在(式1-1)中，m爲樣本容量，即實驗次數；Xi、Yi分別任意一組實驗X、Y的數值。微積分應用課題一 最小二乘法
　　從前面的學習中, 我們知道最小二乘法可以用來處理一組數據, 可以從一組測定的數據中尋求變量之間的依賴關系, 這種函數關系稱爲經驗公式. 本課題將介紹最小二乘法的精確定義及如何尋求 與 之間近似成线性關系時的經驗公式. 假定實驗測得變量之間的 個數據 , , …, , 則在 平面上, 可以得到 個點 , 這種圖形稱爲“散點圖”, 從圖中可以粗略看出這些點大致散落在某直线近旁, 我們認爲 與 之間近似爲一线性函數, 下面介紹求解步驟.
　　考慮函數 , 其中 和 是待定常數. 如果 在一直线上, 可以認爲變量之間的關系爲 . 但一般說來, 這些點不可能在同一直线上. 記 , 它反映了用直线 來描述 , 時, 計算值 與實際值 產生的偏差. 當然要求偏差越小越好, 但由於 可正可負, 因此不能認爲總偏差 時, 函數 就很好地反映了變量之間的關系, 因爲此時每個偏差的絕對值可能很大. 爲了改進這一缺陷, 就考慮用 來代替 . 但是由於絕對值不易作解析運算, 因此, 進一步用 來度量總偏差. 因偏差的平方和最小可以保證每個偏差都不會很大. 於是問題歸結爲確定 中的常數 和 , 使 爲最小. 用這種方法確定系數 , 的方法稱爲最小二乘法.
　　由極值原理得 , 即
　　解此聯立方程得
　　(*)
　　問題 I 爲研究某一化學反應過程中, 溫度 ℃)對產品得率 (％)的影響, 測得數據如下:
　　溫度 ℃)
　　100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
　　得率 (％)
　　45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
　　(1) 利用“ListPlot”函數, 繪出數據 的散點圖(採用格式: ListPlot[{ , , …, }, Prolog->AbsolutePointSize[3]] );
　　(2) 利用“Line”函數, 將散點連接起來, 注意觀察有何特徵? (採用格式: Show[Graphics[Line[{ , , …, }]] , Axes->True ]) ;
　　(3) 根據公式(*), 利用“Apply”函數及集合的有關運算編寫一個小的程序, 求經驗公式 ;
　　(程序編寫思路爲: 任意給定兩個集合A (此處表示溫度)、B(此處表示得率), 由公式(*)可定義兩個二元函數(集合A和B爲其變量)分別表示 和 . 集合A元素求和: Apply[Plus,A] 表示將加法施加到集合A上, 即各元素相加, 例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A 元素的個數, 即爲n; A.B表示兩集合元素相乘相加;A*B表示集合A與B元素對應相乘得到的新的集合.)
　　(4) 在同一張圖中顯示直线 及散點圖;
　　(5) 估計溫度爲200時產品得率.
　　然而, 不少實際問題的觀測數據 , , …, 的散點圖明顯地不能用线性關系來描敘, 但確實散落在某一曲线近旁, 這時可以根據散點圖的輪廓和實際經驗, 選一條曲线來近似表達 與 的相互關系.
　　問題 II 下表是美國舊轎車價格的調查資料, 今以 表示轎車的使用年數, (美元)表示相應的平均價格, 求 與 之間的關系.使用年數
　　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均價格
　　2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204
　　(1) 利用“ListPlot”函數繪出數據 的散點圖, 注意觀察有何特徵?
　　(2) 令 , 繪出數據 的散點圖, 注意觀察有何特徵?
　　(3) 利用“Line”函數, 將散點 連接起來, 說明有何特徵?
　　(4) 利用最小二乘法, 求 與 之間的關系;
　　(5) 求 與 之間的關系;
　　(6) 在同一張圖中顯示散點圖 及 關於 的圖形.思考與練習
　　1. 假設一組數據 : , , …, 變量之間近似成线性關系, 試利用集合的有關運算, 編寫一簡單程序: 對於任意給定的數據集合 , 通過求解極值原理所包含的方程組, 不需要給出 、 計算的表達式, 立即得到 、 的值, 並就本課題 I /(3)進行實驗.
　　注: 利用Transpose函數可以得到數據A的第一個分量的集合, 命令格式爲:
　　先求A的轉置, 然後取第一行元素, 即爲數據A的第一個分量集合, 例如
　　(A即爲矩陣 )
　　= (數據A的第一個分量集合)
　　= (數據A的第二個分量集合)
　　B-C表示集合B與C對應元素相減所得的集合, 如 = .
　　2. 最小二乘法在數學上稱爲曲线擬合, 請使用擬合函數“Fit”重新計算 與 的值, 並與先前的結果作一比較.