數學期望

概述
　　mathematical expectation

pic-info">離散型隨機變量的數學期望

離散型

　　離散型隨機變量的一切可能的取值xi與對應的概率Pi(=xi)之積的和稱爲的數學期望（設級數絕對收斂），記爲E。隨機變量最基本的數學特徵之一。它反映隨機變量平均取值的大小。又稱期望或均值。如果隨機變量只取得有限個值，稱之爲離散型隨機變量的數學期望。它是簡單算術平均的一種推廣，類似加權平均。例如某城市有10萬個家庭，沒有孩子的家庭有1000個，有一個孩子的家庭有9萬個，有兩個孩子的家庭有6000個，有3個孩子的家庭有3000個， 則此城市中任一個家庭中孩子的數目是一個隨機變量，記爲X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率爲0.01，取1的概率爲0.9，取2的概率爲0.06，取3的概率爲0.03，它的數學期望爲0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等於1.11，即此城市一個家庭平均有小孩1.11個，用數學式子表示爲：E(X)=1.11。

連續型

　　連續型隨機變量X的概率密度函數爲f(x),若積分：

pic-info">

絕對收斂，則稱此積分值爲隨機變量X的數學期望，記爲：

pic-info">

數學期望的定義

定義1：

　　

pic-info">數學期望

按照定義,離散隨機變量的一切可能取值與其對應的概率P的乘積之和稱爲數學期望,記爲E.如果隨機變量只取得有限個值:x,y,z,...則稱該隨機變量爲離散型隨機變量。

定義2：

　　1 決定可靠性的因素常規的安全系數是根據經驗而選取的,即取材料的強度極限均值(概率理論中稱爲數學期望)與工作應力均值(數學期望)之比計算

隨機變量的數學期望值

　　在概率論

pic-info">數學期望

和統計學中，一個離散性隨機變量的期望值（或數學期望、或均值，亦簡稱期望）是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和。換句話說，期望值是隨機試驗在同樣的機會下重復多次的結果計算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值並不一定等同於常識中的“期望”——“期望值”也許與每一個結果都不相等。（換句話說，期望值是該變量輸出值的平均數。期望值並不一定包含於變量的輸出值集合裏。）

單獨數據的數學期望值算法

　　對於數學期望的定義是這樣的。數學期望
　　E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)
　　X1,X2,X3,……,Xn爲這幾個數據，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)爲這幾個數據的概率函數。在隨機出現的幾個數據中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函數就理解爲數據X1,X2,X3,……,Xn出現的頻率f(Xi).則：
　　E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)
　　很

pic-info">北京大學數學教學系列叢書

容易證明E(X)對於這幾個數據來說就是他們的算術平均值。
　　我們舉個例子，比如說有這么幾個數：
　　1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，1
　　1出現的次數爲3次，佔所有數據出現次數的3/12,這個3/12就是1所對應的頻率。同理，可以計算出f(2) = 2/12,f(5) = 2/12 , f(6) = 1/12 , f(8) = 2/12 , f(9) = 1/12 , f(4) = 1/12 根據數學期望的定義：
　　E(X) = 1*f(1) + 2*f(2) + 5*f(5) + 6*f(6) + 8*f(8) + 9*f(9) + 4*f(4) = 13/3
　　所以 E(X) = 13/3,
　　現在算這些數的算術平均值：
　　Xa = (1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1)/12 = 13/3
　　所以E(X) = Xa = 13/3