帕累托分布

什么是帕累托分布
　　帕累托分布是以意大利經濟學家維弗雷多·帕雷托命名的。 是從大量真實世界的現象中發現的冪次定律分布。這個分布在經濟學以外，也被稱爲布拉德福分布。
　　帕累托因對意大利20%的人口擁有80%的財產的觀察而著名，後來被約瑟夫·朱蘭和其他人概括爲帕累托法則（80/20法則），後來進一步概括爲帕累托分布的概念。
帕累托分布的概述
　　19世紀末期，意大利經濟學家維弗雷多·帕累托認爲，貧與富的存在，既是經濟問題，也有政治原因。
　　帕累托在研究英國人的收入分配問題時發現，絕大部分社會財富最終總會流向少數人羣；他還發現，某一部分人口佔總人口的比例，與這一部分人所擁有的財富的份額具有比較確定的計量經濟關系；進一步的研究證實，這種不平衡模式可以重復出現，甚至可以預測。經濟學把這一社會財富的分布狀態，稱爲“帕累托分布”。
　　帕累托分布可以歸納爲一個非常簡潔的表述：通過市場交易，20%的人將佔有80%的社會財富，如果交易可以不斷進行下去，那么，“在因和果、努力和收獲之間，普遍存在着不平衡關系，典型的情況是：80%的收獲來自20%的努力；其他 80%的力氣只帶來20%的結果”。丹尼爾·貝爾在《帕累托分布與收入最大化》中進一步敘述到：“如果待分配的財富總量是100萬元，人數爲100人，那么我們會有這樣一組對應的分配比例：排在前面的20個人，分得80萬元；同理，這20人中的4個人，分得64萬元；4個人中的1個人，分得50萬元。”
　　如果我們把這些數據用數學公式簡單處理一下，就會顯示一條收縮中的“財富曲线”以及一條發散中的“貧困曲线”。它的最終走向，是必然會“清零”的，也只有如此，“財富”中所包含的生產力因子才能重新釋放出來。
　　帕累托分布從經濟學角度論證出，社會分配的“絕對的失衡”必然導致“絕對的貧困”，甚至導致“宗教末日審判”的來臨，除非我們可以通過政治手段，人爲地阻止財富向高端不斷聚集，否則，貧富雙方的利益衝突是不可避免的。
帕累托分布的函數
　　tp://wiki.mbalib.com/w/images/thumb/e/e2/%E5%B8%95%E7%B4%AF%E6%89%98%E5%88%86%E5%B8%83.png/400px-%E5%B8%95%E7%B4%AF%E6%89%98%E5%88%86%E5%B8%83.png" alt="帕累托分布" width="400" height="300" longdesc="/wiki/Image:%E5%B8%95%E7%B4%AF%E6%89%98%E5%88%86%E5%B8%83.png">
　　圖：帕累托分布 (xmin=1)
　　在帕累托分布中，如果X是一個隨機變量， 則X的概率分布如下面的公式所示：

tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/5/1/2/512487022d1bd4eb568dabd740ea91ea.png" alt="{\rm P}(X>x)=\left(\frac{x}{x_{\min}}\right)^{-k}">

　　其中x是任何一個大於xmin的數，xmin是X最小的可能值（正數），k是爲正的參數。帕累托分布曲线族是由兩個數量參數化的：xmin和k。分布密度則爲

tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/f/3/4f33ca69db7a148088e1592a3783ff94.png" alt="p(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{if }x < x_{\min}; \\ \\ {k \; x_{\min}^k \over x^{k+1}}, & \mbox{if }x > x_{\min}. \end{matrix} \right.">

　　帕累托分布屬於連續概率分布。
　　“吉普夫定律”, 也稱爲“zeta 分布”, 也可以被認爲是在離散概率分布中的帕累托分布。 一個遵守帕累托分布的隨機變量的期望值爲 tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/e/d/4edb3a7bd9eeb4f31dace509533c5a2e.png" alt="x_{\min} \; k \over k-1"> (如果 tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/5/7/8/57865ecc56bb1c7bd56ab6bbfab13180.png" alt="k \leq 1">, 期望值爲無窮大) 且隨機變量的標準差爲 tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/4/b/a4b37764b2c92bd2654ecc8c22bafd98.png" alt="{x_{\min} \over k-1} \sqrt{k \over k-2}"> (如果 tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/9/7/897297ea63399e327632a77e9613e248.png" alt="k \leq 2">, 標準差不存在)。
被大致認爲的帕累托分布
被認爲大致是帕累托分布的例子有：
在現代工業資本主義創造了大量中產階級之前，財富在個人之間的分布。 甚至在現代工業資本主義創造了大量中產階級之後，財富在個人之間的分布。 人類居住區的大小 對維基百科條目的訪問 接近絕對零度時，愛因斯坦凝聚的團簇 在互聯網流量中文件尺寸的分布 油田的石油儲備數量 龍卷風帶來的災難的數量