持續期

持續期（Duration）

什么是持續期？

　　持續期（Duration）也稱久期，最初由美國經濟學家弗雷德裏克-麥克萊於1936年提出。持續期作爲一種全新的概念在當時出現，使人們對固定收入金融工具的實際償還期與風險的關系有了更深入的了解，同時被廣泛地用於預測由於市場利率變動所引起的債券價格的變動。20世紀80年代以來，持續期又被金融機構運用於資產負債管理之中。

持續期分析

　　從經濟涵義上講，持續期是固定收入金融工具現金流的加權平均時間，也可以理解爲金融工具各期現金流抵補最初投入的加權平均時間。在計算中，麥克萊持續期的一般表達式爲，金融工具各期現金流發生的相應時間乘以各期現金流現值之和與該金融工具總現值的商，即

　　 $D=sum_{t=1}^n {C_t*t over (1+r)^t}/sum_{t=1}^n {C_t over (1+r)^t}$

　　D爲持續期；t爲各現金流發生時間； $C t$ 金融工具第t期現金流；r爲市場利率；設 $C t / (1 + r) t = p v t$ ，則有：

　　 $sum_{t=1}^n {C_t over (1+r)^t}=sum_{t=1}^n PV_t=P_0$

　　持續期公式可以寫成：

　　 $D=sum_{t=1}^n {C_t*t over (1+r)^t} / p_0$

　　如果把固定收入債券各期將收回的現金流的現值表示爲金融工具總現值 $P 0$ 的一部分，即作爲一種各期將收回的現金流的現值佔總現值，或最初總投入的權重則公式可變形爲：

　　 $D=sum_{t=1}^n PV_t*t / p_0=sum_{t=1}^n left {PV_t over p_0}*t right=sum_{t=1}^n left W_t times t right$

　　上式把各期現金流的現值表示爲金融工具總現值 $P 0$ 的一部分，即各期現金流現值佔該金融工具總現值的比例，其和等於1。把這些比率作爲權重（ $w t$ ）分別乘以各期現金流發生的時間，就得到該項金融工具的持續期。持續期在經濟意義上還可以理解爲該項金融工具各期現金流抵補最初投入的加權平均時間。

　　持續期還有一種近似表達：

　　 $Dapproxleft{triangle P over p}/{triangle r over (1+r)} right$

　　P爲金融工具購买時市場價格；△P爲金融工具價格變動；r爲金融工具購入時市場利率；△r爲市場利率變動。

　　上式可以理解爲金融工具的價格彈性，即市場利率變動的百分比所引起金融工具價格變動百分比的關系。由於利率變動對固定收入的金融工具價格變動的影響是反向的，故其變動關系用負數表示。上式經過變形，可以引出計算金融工具價格變動的近似表達式：

　　 $triangle Papprox -P*D*triangle r/(1+r)$

　　例：設某固定收入債券的息票爲每年80美元，償還期爲3年，面值爲1000美元。該金融工具的實際收益率（市場利率）爲10%，現行市場價格爲 950.25美元，求該債券的持續期。在持續期計算中，先計算每期現金流的現值，然後每個現值乘以相應的發生時間，再把各項乘積相加，並除以該債券的市場價格，就得到該債券的持續期爲2.78年。見下表: